Мярт Виснапуу появился на свет 23 апреля 1962 года в Таллине. В 1984 году он завершил обучение на актерском факультете республиканской государственной консерватории в столице.
С 1984 по 1992 год артист трудился в Эстонском драматическом театре, а с 1993 по 1995 год в театре "Угала". Его карьера в кино началась в 1980-х годах. Первую значимую роль он исполнил в спортивной драме "Боковой ветер", где сыграл велогонщика Райво.
Затем последовали работы в фильмах, таких как "Во времена волчьих законов", "Ключевой вопрос", "Ребята из дзюдо", "Джордано", а также в финско-эстонском проекте "Истерия".
Он также снялся в историко-приключенческом сериале "Русалочьи отмели" и в значимом для жанра проекте по Вайнерам "Вход в лабиринт", где работал с такими известными советскими актерами, как Костолевский и Куравлев, а также с рядом других ведущих артистов.